Réseau de neurones de Hopfield

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Le réseau de neurones d'Hopfield est un modèle de réseau de neurones récurrents à temps discret dont la matrice des connexions est symétrique et nulle sur la diagonale et où la dynamique est asynchrone (un seul neurone est mis à jour à chaque unité de temps). Il a été popularisé par le physicien John Hopfield en 1982^[1]. Sa découverte a permis de relancer l'intérêt dans les réseaux de neurones qui s'était essoufflé durant les années 1970 à la suite d'un article de Marvin Minsky et Seymour Papert. Les réseaux de Hopfield rentrent dans le cadre des modèles à base d'énergie^[2].

Un réseau de Hopfield est une mémoire adressable par son contenu : une forme mémorisée est retrouvée par une stabilisation du réseau, s'il a été stimulé par une partie adéquate de cette forme.

Structure[modifier | modifier le code]

Ce modèle de réseau est constitué de N neurones à états binaires (-1, 1 ou 0, 1 suivant les versions) tous interconnectés. L'entrée totale d'un neurone i est donc :

I_{i}=\sum _{j}w_{ij}V_{j}

où :

$w_{ij}$ est le poids de la connexion du neurone i au neurone j ;
$V_{j}$ est l'état du neurone j.

L'état du réseau peut être caractérisé par un mot de N bits correspondant à l'état de chaque neurone.

Dynamique[modifier | modifier le code]

Le fonctionnement du réseau est séquencé par une horloge. On notera :

$V_{i}(t)$ ou $V_{i}$ l'état du neurone i à l'instant t ;
$V_{i}(t+1)$ l'état du neurone i à l'instant t + dt où dt désigne l'intervalle de temps entre 2 tops d'horloge.

Il existe plusieurs alternatives assez équivalentes pour la mise à jour de l'état des neurones :

le mode stochastique original de Hopfield où chaque neurone modifie son état à un instant aléatoire selon une fréquence moyenne égale pour tous les neurones. Plus simplement on peut considérer qu'à chaque top d'horloge, on tire au hasard un neurone afin de le mettre à jour ;
un mode synchrone où tous les neurones sont mis à jour simultanément ;
un mode séquentiel où les neurones sont mis à jour selon un ordre défini.

Le calcul du nouvel état du neurone i se fait ainsi :

$V_{i}(t+1)=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {si} \sum _{j}{w_{ij}V_{j}}>0,\\-1&\mathrm {sinon} \end{matrix}}\right.$

Apprentissage[modifier | modifier le code]

L'apprentissage dans un réseau d'Hopfield consiste à faire en sorte que chacun des prototypes à mémoriser soit :

un état stable du réseau ;
un état attracteur permettant de le retrouver à partir d'états légèrement différents.

Règle d'apprentissage de Hebb pour les réseaux de Hopfield[modifier | modifier le code]

Pour estimer les poids, on peut utiliser un apprentissage hebbien, inspiré de la règle de Hebb. Qui donne pour retenir $p$ motif d'entraînement :

w_{ij}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{p}x_{i}^{k}x_{j}^{k}\,

où $w_{ij}$ est le poids de la connexion entre le neurone $j$ et le neurone $i$ , $n$ est la dimension du vecteur d'entrée, et $x_{i}^{k}$ et $x_{j}^{k}$ sont respectivement la $k$ ième entrée des neurones $i$ et $j$ .

Si les bits correspondant aux neurones $i$ et $j$ sont égaux dans le motif $\mu$ , alors le produit $\epsilon _{i}^{\mu }\epsilon _{j}^{\mu }$ sera sois positif. Cela aurait, à son tour, un effet positif sur le poids $w_{ij}$ et les valeurs de $i$ et $j$ auront tendance à devenir égales. L'inverse se produit si les bits correspondant aux neurones $i$ et $j$ sont différents.

L'apprentissage hebbien minimise la fonction d'énergie, c'est-à-dire que si deux unités sont actives simultanément, le poids de leurs connexions est augmenté ou diminué.

Règle d'apprentissage de Storkey[modifier | modifier le code]

Cette règle a été introduite par Amos Storkey en 1997 et est à la fois locale et incrémentielle. Storkey a également montré qu'un réseau Hopfield entraîné à l'aide de cette règle a une plus grande capacité qu'un réseau correspondant entraîné à l'aide de la règle de Hebb^[3]. Le réseaux suit la règle d'apprentissage de Storkey si il obéit :

$w_{ij}^{\nu }=w_{ij}^{\nu -1}+{\frac {1}{n}}\epsilon _{i}^{\nu }\epsilon _{j}^{\nu }-{\frac {1}{n}}\epsilon _{i}^{\nu }h_{ji}^{\nu }-{\frac {1}{n}}\epsilon _{j}^{\nu }h_{ij}^{\nu }$

où $h_{ij}^{\nu }=\sum _{k=1~:~i\neq k\neq j}^{n}w_{ik}^{\nu -1}\epsilon _{k}^{\nu }$ est une forme de champ local^[4] au niveau du neurone i.

Cette règle d'apprentissage est locale, puisque les synapses ne prennent en compte que les neurones à leurs côtés. La règle utilise plus d'informations provenant des modèles et des poids que la règle de Hebb généralisée, en raison de l'effet du champ local.

Limites[modifier | modifier le code]

Le réseau de Hopfield a cependant des limites bien connues : il ne peut stocker qu'environ 0,14 $n$ motifs avec $n$ le nombre de neurones. Des modèles ultérieurs, s'inspirant du réseau de Hopfield mais en modifiant les règles de stockage et d'accès, permettent d'agrandir cette limite de stockage^[5].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ (en) J. J. Hopfield, « Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 79, n^o 8,‎ 1^er avril 1982, p. 2554–2558 (ISSN 0027-8424 et 1091-6490, PMID 6953413, DOI 10.1073/pnas.79.8.2554, lire en ligne, consulté le 24 octobre 2018)
↑ Par Tiernan Ray |, « EXCLUSIF : Yann LeCun (Meta) explore la frontière énergétique de l'apprentissage profond », sur ZDNet France (consulté le 13 avril 2023).
↑ Amos Storkey, Artificial Neural Networks – ICANN'97, vol. 1327, Springer, coll. « Lecture Notes en informatique », 1997, 451–6 p. (ISBN 978-3-540-69620-9, DOI 10.1007/BFb0020196, CiteSeer^x 10.1.1.33.103), « Augmenter capacité d'un réseau Hopfield sans sacrifier la fonctionnalité »
↑ A.J. Storkey et R. Valabregue, « Les bassins d'attraction d'une nouvelle règle d'apprentissage de Hopfield », Neural Networks, vol. 12, n^o 6,‎ 1999, p. 869–876 (PMID 12662662, DOI 10.1016/S0893-6080(99 )00038-6, CiteSeer^x 10.1.1.19.4681)
↑ Ala ABOUDIB, Vincent GRIPON et Xiaoran JIANG, « A study of retrieval algorithms of sparse messages in networks of neural cliques », COGNITIVE 2014 : the 6th International Conference on Advanced Cognitive Technologies and Applications,‎ mai 2014, p. 140–146 (lire en ligne, consulté le 24 octobre 2018).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Neural Lab - interface graphique en Python et Gtk permettant de manipuler un reseaux de hopfield

Portail de l'informatique théorique

[1] (en) J. J. Hopfield, « Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 79, n^o 8,‎ 1^er avril 1982, p. 2554–2558 (ISSN 0027-8424 et 1091-6490, PMID 6953413, DOI 10.1073/pnas.79.8.2554, lire en ligne, consulté le 24 octobre 2018)

[2] Par Tiernan Ray |, « EXCLUSIF : Yann LeCun (Meta) explore la frontière énergétique de l'apprentissage profond », sur ZDNet France (consulté le 13 avril 2023).

[storkey1997-3] Amos Storkey, Artificial Neural Networks – ICANN'97, vol. 1327, Springer, coll. « Lecture Notes en informatique », 1997, 451–6 p. (ISBN 978-3-540-69620-9, DOI 10.1007/BFb0020196, CiteSeer^x 10.1.1.33.103), « Augmenter capacité d'un réseau Hopfield sans sacrifier la fonctionnalité »

[storkey1991basins-4] A.J. Storkey et R. Valabregue, « Les bassins d'attraction d'une nouvelle règle d'apprentissage de Hopfield », Neural Networks, vol. 12, n^o 6,‎ 1999, p. 869–876 (PMID 12662662, DOI 10.1016/S0893-6080(99 )00038-6, CiteSeer^x 10.1.1.19.4681)

[5] Ala ABOUDIB, Vincent GRIPON et Xiaoran JIANG, « A study of retrieval algorithms of sparse messages in networks of neural cliques », COGNITIVE 2014 : the 6th International Conference on Advanced Cognitive Technologies and Applications,‎ mai 2014, p. 140–146 (lire en ligne, consulté le 24 octobre 2018).

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